截长补短法的经典例题

截长补短法在几何学中一个非常重要的工具，尤其是在处理与全等三角形相关的难题时。虽然很多同学在进修后会将其遗忘，但实际应用中它能帮助解决不少复杂的几何题目。这篇文章小编将通过一个经典例题来展示怎样高效使用截长补短法。

截长补短法的原理

截长补短法主要是通过比较线段的长度关系来构建全等三角形，从而得出我们需要的。其基本的形式是证明关系式如 ( AB + CD = EF ) 或者 ( AB + CD = sqrt2EF ) 等。关键在于找到可以应用这一法则的几何图形和相应的辅助线。

经典例题分析

我们来看一个与阿基米德折弦定理相关的经典例题。设圆 ( O ) 的两条弦为 ( AB ) 和 ( BC )（即折线 ( ABC ) 是 ( O ) 的一条折弦），已知 ( BC > AB )，M 为 ( ABC ) 的弧中点。根据阿基米德折弦定理，若从点 M 向 ( BC ) 作垂线，垂足为 D，则 CD 可以表示为 ( AB + BD )。

在这个例子中，我们要证明 ( CD = AB + BD )。在此处，线段 ( CD ) 为最长边，而 ( AB ) 和 ( BD ) 则是较短边。运用截长补短法，我们可以通过在 ( CD ) 上截取 ( AB ) 或 ( BD ) 来得到全等三角形。

步骤一：构造辅助线

我们在线段 ( CD ) 上截取 ( DH = BD )，由此得到 ( triangle MDB cong triangle MDH )。虽然根据现有条件，我们无法直接证明另外一对三角形全等，但这为我们后续的证明路线引出了思路。

步骤二：继续构造其他线段

在线段 ( CB ) 上截取 ( CG = AB )，并连接 ( MA )、( MB )、( MC ) 和 ( MG )。

结合 M 是弧 ( ABC ) 的中点，可以得出 ( MA = MC )，且 ( angle A = angle C )，因此 ( triangle MAB cong triangle MCG )。

怎样样？经过上面的分析步骤，我们可以得出 ( MB = MG ) 且由于 ( MD ) 垂直于 ( BC )，那么 ( BD = DG )。

最终，我们得出 ( AB + BD = CG + DG )，从而得到 ( CD = DB + BA )。

应用与领悟

另一个例子则更具挑战性。设 ( BC ) 为 ( O ) 的直径，点 A 为圆上的一个固定点，点 D 为圆上的一个移动点，且 ( angle DAC = 45^circ )，已知 ( AB = 6 ) 且 ( O ) 的半径为 5，需要求出 ( AD ) 的长度。

在这个情况下，我们可以通过垂线构造出阿基米德折弦，进一步利用勾股定理求出 ( AD ) 的具体长度。这一类题目的综合性很强，要求学生具备对几何图形的敏锐观察与辅助线的合理构造。

拓展资料归纳

怎样？怎样样大家都了解了吧，截长补短法是几何题中不可或缺的工具，特别是在处理全等三角形的难题时。通过经典例题的分析，我们看到怎样通过辅助线的构造来有效地利用这一技巧，帮助解决较难的几何难题。熟练掌握截长补短法，不仅能提高解题效率，还能提升几何思索的深度与广度。希望同学们在今后的进修中，能灵活运用这一法则，解决更多数学难题。